CABLES SUSPENDIDOS.
Los cables son considerados uno de los elementos esenciales para cualquier forma estructural en el área de ingeniería y arquitectura, son elementos flexibles debido a sus dimensiones transversales pequeñas, en relación con su longitud, logrando así una mayor resistencia a las tensiones que es sometido. Tomando en cuenta las magnitudes que los cables son capaz de soportar por la fuerzas de tracción, son hechos de acero.
Los cables se han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería. Pensemos en los puentes colgantes, no solo los grandes sino también los pequeños construidos para comunicar veredas en zonas rurales, las garruchas, los sistemas de transporte de productos agrícolas en los cultivos, los sistemas de interconexión eléctrica, los tensores o contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc.
Por su flexibilidad, los cables solo aguantan fuerzas de tracción, se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de flexión se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soporte de la estructura. El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Para cables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal, adquieren una forma parabólica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso (en este caso no es una carga uniforme) forman una curva llamada catenaria. Un ejemplo de este último caso es el de las redes de energía. En el caso de que la flecha del cable (distancia vertical desde los extremos hasta el punto más bajo) no sea muy grande, esta catenaria se puede aproximar a una parábola.
CABLE SUJETO A FUERZAS PUNTUALES.
Los cables sujetos a cargas puntuales toman una configuración tipo polígono tal y como se puede ver en la figura que se muestra más abajo. En este tipo de ejercicios podremos utilizar las tres ecuaciones de la estática más una adicional, como resultado de considerar que un cable es un modelo de viga con un número infinito de rótulas. Esto nos permite tener una condición adicional que consiste en igualar a cero el sumatorio de los momentos para una mitad del cable (ver como se procede en el punto D de las siguientes figuras). Esto resulta de vital importancia pues normalmente tenemos dos soportes fijos con cuatro reacciones, por lo que se necesitan otras 4 ecuaciones.
Además, se pueden utilizar otra condición común, general para todos los cables, y es la condición de tensión máxima en los apoyos (cuando se encuentren en el punto con mayor cota) que se puede obtener de forma vectorial en función de x e y utilizando el teorema de Pitágoras. Un esbozo de este tipo de problema es el siguiente:
Para el análisis de este tipo de cables además hemos considerar que:
Las cargas son verticales.
El peso del cable se puede despreciar.
Los tramos de cable entre dos puntos se pueden tratar prácticamente como si fueran rígidos
La configuración de fuerzas aplicadas se puede ver más claramente en la figura siguiente, en la que tenemos un cable apoyado en dos soportes A, B y sometido a tres fuerzas puntuales verticales descendentes P1, P2 y P3.
Por otra parte, la cuarta ecuación que hemos mencionado antes se puede obtener separando el cable en el punto D y tomando momentos en la mitad del cable, de manera similar a como hemos hecho ya en vigas:
CABLES SOMETIDOS A CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS EN LA PROYECCIÓN HORIZONTAL
Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña. La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto más bajo de este.
Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola en el centro o considerarlo desde un extremo.
- Desde el centro
Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la curva del cable en función de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D tenemos:
Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posición x, note que la ecuación corresponde a una parábola.
Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y considerando la simetría tenemos:
en esta ecuación podemos observar que el momento máximo ejercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al momento máximo de una viga simplemente apoyada.
Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la sección indicada:
El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es:
La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:
La tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente horizontal de la tensión, H.
b. Cables con apoyos no alineados horizontalmente:
igualando Ay y despejando la H*ym
Donde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x está medida desde el extremo izquierdo.
Para xm=L/2
La ecuación que define la forma del cable es una parábola con origen en el extremo izquierdo:
Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en función de H, se deriva e iguala a cero:
Constituye la tangente en cualquier punto del cablePara dy/dx=0
Punto de tangencia cero. Note que depende de H y a la vez H depende de la flecha, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o H o ym.
Longitud del cable necesaria:
Expresando una longitud diferencial de cable en función de dx y dy tenemos:
Dividiendo por dx2 y multiplicando por dx fuera del radical:
Se conoce la expresión dy/dx
Reemplazando
En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero, el valor de dy/dx es:
Haciendo una sustitución de variables:
Ejemplo
Un cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kN/m. Si la altura máxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es de 30m y se cuenta con cables de acero con resistencia última a tracción de 1800N/mm2, determinar el diámetro del cable mínimo que puede ser usado. Despreciar el peso del cable.
Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podría determinar el menor volumen de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por área transversal y grafique versus altura del pilón.
En este caso se pide tener una geometría tal del cable que produzca la mínima tensión posible. Las componentes verticales son máximas en los apoyos e iguales a la mitad de la carga generada en toda la luz y no dependen de la geometría del cable.
La componente horizontal de la tensión varía con la flecha, a mayor flecha menor componente horizontal, por lo tanto una tensión mínima se consigue con una flecha igual a la máxima posible, en este caso 30 metros
. Reacciones vertical:
. Reacciones vertical:
Tomando momentos con respecto a uno de los apoyos en una sección de solo la mitad del cable se obtiene la componente horizontal de la tensión:
Área de cable mínima:
CABLES PARABOLICOS
En los cables parabólicos la forma que genera la curva de los cables suspendidos a lo largo de la horizontal es una parábola, de ahí la denotación de su nombre
Cuando un hilo está sometido a una carga uniforme por unidad de proyección horizontal, dicho hilo adquiere la forma de una parábola si se desprecia su peso propio respecto al de la carga que debe soportar. Este caso se presenta, en la práctica, en el cálculo de puentes colgantes, en los que el peso del tablero es mucho mayor que el del cable que lo sustenta.
El tablero, o base del puente colgante, lo podemos representar por una carga vertical, p (N/m), uniformemente distribuida a lo largo de la proyección horizontal del cable. La transmisión de carga del tablero al cable se realiza mediante unos cables verticales denominados tirantes, también de peso despreciable frente al del tablero.
CASO DE CARGAS DISTRIBUIDAS A LO LARGO DE LA LONGITUD DEL CABLE.
La tensión en cualquier punto de la cuerda es:
Haciendo w/H=c, una constante
Para obtener la forma del cable, se puede encontrar una ecuación que relacione la longitud S de un tramo de cable con su proyección horizontal
Integrando esta ecuación de 0 a S, se obtiene
y
Integrando la función de y se obtiene
Que corresponde a la ecuación de una catenaria con eje vertical.
CABLES EN FORMA DE CATENARIA.
El modelo de cable por excelencia, ya que aparece en una infinidad de casos en la naturaleza. Por ejemplo los tendidos eléctricos, una cadena, o una tela de araña son ejemplos de catenaria. En este caso, el cable solo está sujeto a su propio peso. El concepto parece sencillo, sin embargo es el que contiene una mayor carga matemática.
Para determinar completamente la catenaria es necesario conocer su longitud. Para este fin se pueden considerar las tensiones verticales y horizontales siguiendo el siguiente esquema
Para determinar completamente la catenaria es necesario conocer su longitud. Para este fin se pueden considerar las tensiones verticales y horizontales siguiendo el siguiente esquema
Por último, hay que saber determinar la altura en cualquier punto del cable, lo que además es necesario para calcular la tensión vectorial en cada punto. Esta es proporcional a su altura (T = cy).
CABLES CON CARGAS CONCENTRADAS.
Los cables se utilizan en muchas aplicaciones ingenieriles, tales como puentes colgantes, líneas de transmisión, teleféricos, contravientos para torres altas, entre otros. Los cables pueden dividirse en dos categorías de acuerdo con las cargas que actúan sobre estos.
Considérese un cable unido a dos puntos fijos A y B y que soportan cargas concentradas verticales P1, P2 Pn. se supone que el cable es flexible, esto es que su resistencia a la reflexión es pequeña y puede despreciarse. Además, también se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado en comparación con las cargas que soporta
Por lo tanto, cualquier porción del cable entre dos cargas consecutivas se puede considerar como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas y, por consiguiente, las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable.
enlaces con videos referentes al tema:
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